2019年中考数学总复*第三单元函数及其图象第13课时反比例函数ppt版本

发布于:2021-06-22 23:48:11

第 13 课时 反比例函数

课前考点过关

| 考点自查 |

考点一 反比例函数的概念

一般地,形如

y=


(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,

其中x是自变量,y是x的函数,k叫做比例系数.

【疑难典析】 (1)k≠0; (2)自变量 x≠0; (3)函数值 y≠0; (4)反比例函数 y=的变式为 y=kx-1

或 xy=k(k≠0).

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考点二 反比例函数的图象与性质

1.反比例函数 y=(k≠0)的图象是① 双曲线 ;它是中心对称
图形,对称中心是② 坐标原点 ;它也是轴对称图形,对称轴

是直线③ y=x或y=-x .

2.反比例函数 y=(k≠0)的图象和性质


函数

图象

所在象限

性质

y=k
x
(k≠0)

k>0 k<0

第一、三象限 在每个象限内,y (x,y 同号) 随 x 的增大而减小
第二、四象限 在每个象限内,y (x,y 异号) 随 x 的增大而增大

【疑难典析】 在叙述反比例函数的增减性时应 强调“在每个象限内”.

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3.反比例函数 y=(k≠0)中的比例系数 k 的几何意义
图 13-1 如图 13-1,过双曲线上任一点 P(x,y)分别作 x 轴、y 轴的垂 线段 PM,PN,所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=,∴xy=k,∴S=|k|.过双曲线上任一 点 Q(x,y)作 x 轴的垂线段 QK,则 S△ OQK=12|x|·|y|=12|k|.

【疑难典析】 过双曲线上任意一点向两坐标轴 作垂线,两条垂线与坐标轴所围成 的矩形的面积为常数,其值为|k|.

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考点三 求反比例函数的表达式
利用待定系数法确定反比例函数的表达式. 根据两变量之间的反比例关系,设 y=(k≠0),由已知条件

求出 k 的值,从而确定函数表达式.

【疑难典析】 因为反比例函数表达式中只有一个 待定的字母 k,所以只需要一个条件 即可确定反比例函数的表达式.

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考点四 反比例函数与一次函数的关系

求直线

y=k1x+b(k1≠0)和双曲线

y=2


(k2≠0)的交点,就是解

由这两个函数表达式组成的方程组.

【疑难典析】 求函数图象的交点坐标均转化为求 方程组的解.

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| 对点自评|

题组一 基础关

1.反比例函数 y=2的图象在 ( B )

A.第一、二象限

B.第一、三象限

C.第二、三象限

D.第二、四象限

2.点(2,-4)在反比例函数 y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是

A.(2,4)

B.(-1,-8)

(D)

C.(-2,-4)

D.(4,-2)

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3.[2016·龙岩]

反比例函数

y=-3的图象上有


P1(x1,-2),P2(x2,-3)两

点,则 x1 与 x2 的大小关系是 ( A )

A.x1>x2

B.x1=x2

C.x1<x2

D.不确定

【答案】A
【解析】 ∵反比例函数 y=-3的图象上有 P1(x1,-2),P2(x2,-3)两点, ∴在每D个象限内,y 随 x 的增大而增大, ∵-2>-3,∴x1>x2,故选 A.

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4.若点 A(a,b)在反比例函数 y=2的图象上,则代数式 ab-4 的值为(


B

)

A.0

B.-2

C.2

D.-6

5.反比例函数 y=-1的图象在每个象限内,y 随 x 的增大而增大,则 k 的值可为 ( A )

A.0

B.1

C.2

D.3

6.在同一直角坐标系中,函数 y=-2与 y=2x 图象的交点个数为 ( D )

A.3

B.2

C.1

D.0

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题组二 易错关

【失分点】

忽视 k 的几何意义,即过双曲线上一点向两坐标轴作垂线所围成的矩形的面积为 k 的绝对值,要注意象

限,即 k 的正负;忽视反比例函数的增减性需要考虑在同一象限的问题.

7.如图

13-2,点

A

在双曲线

y=(k≠0)上,AB⊥x


轴于点

B,且

S△

AOB=2,则

k

的值是

(D )

A.2

B.-2

图 13-2

C.4

D.-4

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8.[2018·威海]

若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线

y=(k<0)上,则


y1,y2,y3

的大小关系是

(

D

)

A.y1<y2<y3

B.y3<y2<y1

C.y2<y1<y3

D.y3<y1<y2

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9.[2018·天津]

若点

A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数

y=12


的图象上,则 x1,x2,x3 的大小关系是( B )

A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3

C.x2<x3<x1

D.x3<x2<x1

【答案】B 【解析】 把点 A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)的坐标分 别代入 y=12可得 x1,x2,x3,即可得 x2< x1<x3,故选 B.

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10.[2018·无锡] 已知点 P(a,m),点 Q(b,n)都在反比例函数 y=-2的 图象上,且 a<0<b,则下列结论一定正确的是 ( D )

A.m+n<0

B.m+n>0

C.m<n

D.m>n

【答案】D 【解析】∵k=-2<0, ∴反比例函数 y=-2的图象位于第二、 四象限, ∵a<0<b, ∴点 P(a,m)位于第二象限,点 Q(b,n) 位于第四象限, ∴m>0,n<0,∴m>n.

课堂互动探究 探究一 反比例函数的解析式的确定
例 1 [2016·泉州] 已知反比例函数的图象经过点 P(2,-3). (1)求该函数的解析式; (2)若将点 P 沿 x 轴负方向*移 3 个单位,再沿 y 轴方向*移 n(n >0)个单位得到点 P',使点 P'恰好在该函数的图象上,求 n 的值 和点 P 沿 y 轴*移的方向.

【答案】(1) y=-6 (2)9 正方向 【解析】(1)设反比例函数的解析式为 y=, ∵图象经过点 P(2,-3),∴k=2×(-3)=-6, ∴反比例函数的解析式为 y=-6.

(2)∵点 P 沿 x 轴负方向*移 3 个单位,
∴点 P'的横坐标为 2-3=-1, ∴当 x=-1 时,y=--61=6,∴n=6-(-3)=9, ∴沿着 y 轴*移的方向为正方向.

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拓展 1 [2018·重庆 A 卷] 如图 13-3,在*面直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B 在反比例函数 y=(k>0,x>0)的图象上,横坐 标分别为 1,4,对角线 BD∥x 轴.若菱形 ABCD 的面积为425,则 k
的值为 ( D )

图 13-3

A.5

B.15

C.4

D.5

4

4

【答案】 D

【解析】

设点 A(1,k),则由点 A,B 均在双曲线 y=


上,得 B

4,
4

,由菱形 ABCD 的面积为425,

得12AC·BD=12×2

?
4

×6=425,解得

k=5,

故选 D.

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拓展 2 [2018·嘉兴] 如图 13-4,点 C 在反比例函数 y=(x>0)的 图象上,过点 C 的直线与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,且
AB=BC,△ AOB 的面积为 1.则 k 的值为 ( D )

图 13-4

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】 D 【解析】 过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,连接 OC.由 CD∥OB 知,△ ABO∽△ACD,∴=, ∵AB=BC,∴AO=OD,∵BC=AB,故 S△ BOC=S△ ABO=1,而 AO=OD,故 S△ COD=S△ AOC=2,根据 S△ COD=2,得 k=4, 故正确答案为 D.

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拓展 3 已知反比例函数 y=(k 为常数,k≠0)的图象经过点(-3,2).

(1)判断点 A(2,3),B(-6,1),C(- 6, 6)是否在该函数图象上?为什 么? (2)若-4<x<-1,求反比例函数 y=的取值范围.


【答案】 (1)A 不在,BC 在(2) ,32<y<6 【解析】(1)∵y=的图象经过点(-3,2),

∴k=xy=-6. ∴y=-6.

当 x=2 时,y=-3≠3. ∴A(2,3)不在图象上.
同理可得 B(-6,1),C(- 6, 6)在图象上. (2)当 x=-4 时,y=32.当 x=-1 时,y=6. ∵k=-6<0,
∴在每个象限内,y 随 x 的增大而增大. ∴当-4<x<-1 时,3<y<6.
2

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探究二 反比例函数与一次函数的简单综合
例 2 [2018·临沂] 如图 13-5,正比例函数 y1=k1x 与反比例函数 y2=2的图象相交于 A,B 两点,其中点 A 的横坐标为
1,当 y1<y2 时,x 的取值范围是 ( D )

A.x<-1 或 x>1 C.-1<x<0 或 0<x<1

图 13-5 B.-1<x<0 或 x>1 D.x<-1 或 0<x<1

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例 3 [2018·广州] 一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y=-在同一
直角坐标系中的大致图象是 ( A )
图 13-6

【方法模型】 (1)反比例函数图象与直线的交点是 y1< y2 的分界点,注意观察图象的高低所反映 的 x 的取值范围; (2)反比例函数图象和一次函数图象在同 一直角坐标系时,可以代入特殊值,如 a=2,b=1 等值来探索发现图象的特征.

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拓展 1 [2018·湖州]

如图

13-7,已知直线

y=k1x(k1≠0)与反比例函数

y=2


(k2≠0)的图象交于

M,N

两点.若点

M

的坐标

是(1,2),则点 N 的坐标是 ( A )

A.(-1,-2)

B.(-1,2)

C.(1,-2)

图 13-7 D.(-2,-1)

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拓展 2 [2018·遂宁] 已知一次函数 y1=kx+b(k≠0)与反比例函数 y2= (m≠0)的图象如图 13-8 所示,则当 y1>y2 时,自
变量 x 满足的条件是( A )

A.1<x<3

B.1≤x≤3

C.x>1

图 13-8 D.x<3

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拓展 3 [2018·菏泽] 如图 13-9,已知点 D 在反比例函数 y=的图象上,过点 D 作 DB⊥y 轴,垂足为 B(0,3),直线 y=kx+b 经过点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,且 BD=OC,OC∶OA=2∶5.

(1)求反比例函数 y=和一次函数 y=kx+b 的表达式;


(2)直接写出关于

x

的不等式


>kx+b

的解集.

图 13-9

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【答案】 (1) y=25x-2

(2) x<0

【解析】(1)∵A(5,0), ∴OA=5. ∵OC∶OA=2∶5, ∴OC=2, ∴C(0,-2). ∵B(0,3),BD=OC, ∴D(-2,3).

∵D(-2,3)在反比例函数 y=的图象上,∴3=-2 ,∴a=-6,∴反比例函数的表达式为 y=-6.



A(5,0),C(0,-2)在直线

y=kx+b

上,得

5 + = -2,

=

0,解得



= =

2 5

,

∴一次函数的表达式为

-2.

y=2x-2.
5

= - 6 ,

(2)两函数表达式组成方程组,得



=

2

整理得 -2,

x2-5x+15=0,

5

∵Δ=(-5)2-4×15=25-60=-35<0,∴一元二次方程 x2-5x+15=0 无实数根,

即反比例函数 y=-6与一次函数 y=25x-2 的图象无交点.

∴当 x<0 时,反比例函数 y=-6的图象在一次函数 y=25x-2 的图象的上方;

当 x>0 时,反比例函数 y=-6的图象在一次函数 y=2x-2 的图象的下方;∴不等式>kx+b 的解集是 x<0.



5



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探究三 两个反比例函数结合问题
例 4 [2018·玉林] 如图 13-10,点 A,B 在双曲线 y=3(x>0)上,点 C 在双

曲线 y=1(x>0)上,若 AC∥y 轴,BC∥x 轴,且 AC=BC,则 AB 等于( B )

图 13-10

A. 2

B.2 2

C.4

D.3 2

【方法模型】 从其中一条反比例函数图象上的点入手,设含参数的点

的坐标,再传递给另外一条双曲线得到相应的点的坐标,进而寻找等量

关系,列出方程.

【答案】B
【解析】 点 A,B 在双曲线 y=3(x>0)上,点 C 在双 曲线 y=1(x>0)上,若 AC∥y 轴,BC∥x 轴,

设 C t,1 ,则 B 3t,1 ,A t,3 ,因为 AC=BC, 所以 2t=2,解得 t=1,故 C(1,1),则 B(3,1),A(1,3),所以 Rt△ ABC 中,AB=2 2,
故选 B.

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拓展 1 [2018·遵义] 如图 13-11,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点 A 在反比例函数 y=6(x>0)的图
象上,则经过点 B 的反比例函数解析式为 ( C )

A.y=-6

B.y=-4

C.y=-2

图 13-11 D.y=2

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拓展 2 [2018·宁波] 如图 13-12,*行于 x 轴的直线与函数 y=1(k1>0,x>0),y=2(k2>0,x>0)的图象分别相交于 A,B 两
点,点 A 在点 B 的右侧,C 为 x 轴上的一个动点.若△ ABC 的面积为 4,则 k1-k2 的值为 ( A )

A.8

B.-8

C.4

图 13-12 D.-4

课堂互动探究 探究四 反比例函数综合应用
例 5 [2018·乐山] 某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,图 13-13 是试验阶段的某 天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度 y(℃)与时间 x(h)之间的函数关系,其中线段 AB,BC 表示恒温系统开启阶段, 双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段. 请根据图中信息解答下列问题: (1)求这天的温度 y 与时间 x(0≤x≤24)的函数关系式; (2)求恒温系统设定的恒定温度; (3)若大棚内的温度低于 10℃,蔬菜会受到伤害,问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?
图 13-13

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解:(1)设线段 AB 的解析式为 y=k1x+b(k1≠0,0≤x≤5).

∵线段

AB

过(0,10),(2,14),∴

= 21

10, +

=

14,解得

1==120,,∴线段

AB

的解析式为

y=2x+10(0≤x≤5).

∵B 在线段 AB 上,当 x=5 时,y=20, ∴点 B 的坐标为(5,20). ∴线段 BC 的解析式为 y=20(5≤x≤10).

设双曲线

CD

段的解析式为

y=2


(k2≠0,10≤x≤24),∵点

C

在线段

BC

上,

∴点 C 的坐标为(10,20).

2 + 10(0 ≤ <5),

又∵点

C

在双曲线

y=2


上,∴k2=200.∴双曲线

CD

段的解析式为

y=200


(10≤x≤24).故

y=

20(5 ≤ <10),

200 (10 ≤ ≤ 24).



(2)由(1)知,恒温系统设定的恒定温度为 20℃.

(3)把 y=10 代入 y=200中,解得 x=20,∴20-10=10.

答:恒温系统最多关闭 10 小时,蔬菜才能避免受到伤害.

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拓展 [2018·遂宁] 如图 13-14 所示,在*面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b(k≠0)与反比例函数 y= (m≠0)的图象交于第 二、四象限的 A,B 两点,过点 A 作 AD⊥x 轴于 D,AD=4,sin∠AOD=45,且点 B 的坐标为(n,-2). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)E 是 y 轴上一点,且△ AOE 是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的 E 点坐标.
图 13-14

课堂互动探究

解:(1)∵一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A,B 两点,且 AD⊥x 轴于 D,∴∠ADO=90°, 在 Rt△ ADO 中,AD=4,sin∠AOD=4,∴=4,∴AO=5,
5 5

由勾股定理得:DO= 2-2= 52-42=3, ∴A(-3,4),

把 A(-3,4)代入 y=中得:m=-12, ∴反比例函数的解析式为 y=-12,





又∵B 点在反比例函数 y=-12的图象上,


∴n×(-2)=-12, ∴n=6, ∴B(6,-2),

把 A(-3,4),B(6,-2)代入 y=kx+b 中得

-3 +

= 4,解得



=

-

2 3

,

∴一次函数解析式为

y=-2x+2.

6 + = -2,

= 2,

3

(2)E 点坐标分别为 E1(0,8),E2(0,5),E3(0,-5),E4

0, 25
8

.

Good bye! Wish you a happy life

2019/10/17

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