北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

发布于:2021-06-23 01:25:03

北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)
5.1 认识分式
分式的概念和性质
同步基础知识讲解
【学*目标】 1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2.掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质将分式恒等变形,进而进行条件计算. 【要点梳理】 要点一、分式的概念
一般地,如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A 叫做分式.其中 A B
叫做分子,B 叫做分母. 要点诠释:(1)分式的形式和分数类似,但它们是有区别的.分数是整式,不是分式, 分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母;分数的分子、分 母中都不含字母. (2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数,所以 分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. (3)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π 表示圆周率,是一个
常数,不是字母,如 a 是整式而不能当作分式. ?
(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式
不能先化简,如 x2 y 是分式,与 xy 有区别, xy 是整式,即只看形式, x
不能看化简的结果. 要点二、分式有意义,无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件:分母不等于零. 2.分式无意义的条件:分母等于零. 3.分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(1)分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义,就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零. (2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式
中分母的值不等于零. (3)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变,这个性质叫做
分式的基本性质,用式子表示是: A ? A? M ,A ? A ? M (其中 M 是不等于零的整式). B B?M B B?M
要点诠释:(1)基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着 的条件,一般在解题过程中不另强调;M≠0 是在解题过程中另外附加 的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调 M≠0 这个前提条件.
(2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式
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中字母的取值范围有可能发生变化.例如:

,在变形后,

字母 x 的取值范围变大了.

要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变

其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.

要点诠释:根据分式的基本性质有 ?b ? b , ?b ? b .根据有理数除法的符号法则有 ?a a a ?a

?b ? b ? ? b .分式 a 与 ? a 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着

a ?a a

bb

重要的作用.

要点五、分式的约分,最简分式

与分数的约分类似,利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因式,不改变分式的

值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1 除外),

那么这个分式叫做最简分式.

要点诠释:(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分

母再没有公因式.

(2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式

是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积;当分式

的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子

与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似,利用分式的基本性质,使分式的分子和分母同乘适当的整式,不改

变分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释:(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高

次幂的积作为公分母.

(2)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相

同字母的最高次幂的乘积;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解

因式,然后再找最简公分母.

(3)约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则

是针对多个分式而言.

【典型例题】

类型一、分式的概念

1、下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?

2 , x , m ?1 ,3? x2 , 5 , a2 , ? 2 .

a3 m

?a 3

【思路点拨】 x , 5 , ? 2 虽具有分式的形式,但分母不含字母,其中 5 的分母中? 表示

3? 3

?

一个常数,因此这三个式子都不是分式.

【答案与解析】

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解:整式: x , ? 2 , 5 , 3 ? x2 ,分式: 2 , m ?1 , a2 .

3 3?

am a

【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不 含有字母则不是分式.

类型二、分式有意义,分式值为 0

2、下列各式中, m 取何值时,分式有意义?

(1) m ;(2) 1 ;(3) 3m .

m?2

| m | ?2

?m2 ? 9

【答案与解析】
解:(1)由 m ? 2 ? 0 得 m ? ?2 , 故当 m ? ?2时分式 m 有意义. m?2
(2)由| m | ?2 ? 0 得 m ? ?2 ,

故当 m ? ?2时分式 1 有意义. | m | ?2

(3)由 ?m2 ? 9 ? ?(m2 ? 9) ? 0 ,即无论 m 取何值时 ?m2 ? 9 均不为零,故当 m 为任

意实数时分式 3m 都有意义. ?m2 ? 9
【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值,然后让未知数不等于这些值,便可使分式 有意义.这是解答这类问题的通用方法.
举一反三: 【变式 1】在什么情况下,下列分式没有意义?

(1) 3x ;(2) x ?1 ;(3) x ? 2 .

x(x ? 7)

x2

x2 ? 2

【答案】 解:分式没有意义的条件是分式的分母等于 0.

(1)由 x(x ? 7) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?7 ,

∴ 当 x ? 0 或 x ? ?7 时,原分式没有意义.

(2)由 x2 ? 0 ,得 x ? 0 ,

∴ 当 x ? 0 时,原分式没有意义.

(3)由 x2 ≥0 得, x2 ? 2 ? 0 ,即 x2 ? 2 ? 0 ,

∴ 当 x 取一切实数,原分式都有意义,即没有 x 值能使分式没有意义.

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【变式 2】当 x 为何值时,下列各式的值为 0.

(1) 2x ?1 ;(2) x2 ? x ;(3) x ? 2 .

3x ? 2

x2 ?1

x2 ? 4

【答案】

解:(1)由 2x ?1 ? 0 得 x ? ? 1 , 2

当 x ? ? 1 时, 3x ? 2 ? 3? (? 1) ? 2 ? 0 ,

2

2

∴ 当 x ? ? 1 时,分式 2x ?1 的值为 0.

2

3x ? 2

(2)由 x2 ? x ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?1 ,

当 x ? 0 时, x2 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ,

当 x ? ?1 时, x2 ?1 ? (?1)2 ?1 ? 0 ,





x

?

0 时,分式

x2 x2

?x ?1

的值为

0.

(3)由 x ? 2 ? 0得 x ? ?2 ,

当 x ? ?2 时, x2 ? 4 ? (?2)2 ? 4 ? 0 ,

∴ 在分式有意义的前提下,分式 x ? 2 的值永不为 0. x2 ? 4
类型三、分式的基本性质

3、不改变分式的值,将下列分式的分子、分母中的系数化为整数.

(1) 0.2x ? y ; 0.02x ? 0.5y

1x?1 y (2) 3 4 .
1x?1 y 23

【思路点拨】将(1)式中分子、分母同乘 50,(2)式的分子、分母同乘 12 即可.

【答案与解析】

解:(1) 0.2x ? y ? (0.2x ? y) ? 50 ? 10x ? 50 y . 0.02x ? 0.5y (0.02x ? 0.5y)? 50 x ? 25y

(2)

1 3

x?

1 4

y

?

?1 ?? 3

x?

1 4

y

? ??

?12

?

4x

? 3y

.

1x?1 y 23

? ??

1 2

x

?

1 3

y

? ??

?12

6x ? 4y

【总结升华】利用分式的基本性质,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,

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分式的值不变. 举一反三:

【变式 1】如果把分式 2x 中的 x, y 都扩大 3 倍,那么分式的值(



3x ? 2y

A 扩大 3 倍 B 不变

C 缩小 3 倍

【答案】B;

【变式 2】填写下列等式中未知的分子或分母.

D 扩大 2 倍

(1) x ? y ? x2 ? y2 ; (2) (b ? a)(c ? b) ? ? .

x?y ?

(a ? c)(a ? b)(b ? c) a ? c

【答案】 (x ? y)2 ;1;

解:(1)先观察分子,等式左边分式的分子为 x ? y ,而等式的右边分式的分子为 x2 ? y2 ,

由于 (x ? y)(x ? y) ? x2 ? y2 ,即将等式左边分式的分子乘以 x ? y ,因而分母也要乘以

x ? y ,所以在?处应填上 (x ? y)2 .

(2)先观察分母,等式左边的分母为 (a ? c)(a ? b)(b ? c) ,等式右边的分母为 a ? c ,

根据 分式的性 质可知应将等 式左边分 式的分子、分 母同时除 以 (a ? b)(b ? c) ,因 为

(b ? a)(c ? b) ?[(a ? b)(b ? c)] ?1,所以在?处填上 1.

4、 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号.

(1) ?2a ;(2) ?4x ;(3) 3m ;(4) ? 2b .

b

?5 y

?n

?3c

【答案与解析】

解:(1) ?2a ? ? 2a (2) ?4x ? 4x (3) 3m ? ? 3m (4) ? 2b ? 2b .

b

b

?5y 5y

?n n

?3c 3c

【总结升华】在分子、分母、分式本身中,只有任意两个同时改变符号时,才能保证分式的 值不变.一般地,在分式运算的最后结果中,*惯于只保留一个负号,写在分式的前面. 类型四、分式的约分、通分

5、 将下列各式约分:

(1) 4ax2 12 x3

;(2) ? 15xn?2 y4 3xn y3

;(3) a ?1 ;(4) 16m ? m3

a2 ?1

m2 ? m ? 20



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【答案与解析】
解:(1) 4ax2 ? 4x2 a ? a . 12x3 4x2 3x 3x

(2) ?15xn?2 y4 3xn y3

?3xn y3 ? 3xn y3

5x2 y 1

? ?5x2 y .

(3)

a ?1 a2 ?1

?

(a

a ?1 ?1)(a ?1)

?

1 a ?1



(4)

16m ? m3 m2 ? m ? 20

?

?m(m ? 4)(m (m ? 5)(m ?

? 4) 4)

?

?

m2 ? 4m m?5



【总结升华】当分子、分母都是单项式时,分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系数 的最大公约数与分子、分母的相同因式最低次幂的乘积.

举一反三:

【变式】通分:(1) b , a ;(2) x , 1 .

4ac 2b2c

2x ? 2 x2 ?1

(3) 3 与 a ? b ;(4) 1 , 4x , 2 .

2a2b ab2c

x ? 2 x2 ? 4 x ? 2

【答案】

解:(1)最简公分母为 4ab2c ,

b 4ac

?

b b2 4ab2c

?

b3 4ab2c



a 2b2c

?

a 2a 4ab2c

?

2a2 4ab2c



(2)

x 2x ?

2

?

x 2(x ?1)



1 x2 ?1

?

(x

1 ? 1)( x

?1)



最简公分母为 2(x ?1)(x ?1),

x ? x (x ?1) ? x2 ? x . 2x ? 2 2(x ?1)(x ?1) 2(x ?1)(x ?1)

1 x2 ?1

?

2( x

1? 2 ? 1)( x

?1)

?

2(x

2 ? 1)( x

?1)



(3)最简公分母是 2a2b2c .

3 2a2b

?

3 2a2b

bc bc

?

3bc 2a2b2c



a?b ab2c

?

(a ? b) ab2c

2a ? 2a2 ? 2ab . 2a 2a2b2c

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(4)最简公分母是 (x ? 2)(x ? 2) ,

1 x?2

?

x?2 (x ? 2)(x ? 2)

?

x?2 x2 ? 4

, 4x x2 ? 4

?

4x x2 ? 4


x

2 ?2

?

2(x ? 2) (x ? 2)(x ?

2)

?

2x ? 4 x2 ? 4



5.1 认识分式

一.选择题

基础【同步练*】

1.在代数式 2 x, 1 , 3 , 2 xy2, 3 , 2x2 ? 5 , x2 ? 2 中,分式共有( ).

3 x ? 3 x ? 4 2x

3

A.2 个

B.3 个

2.使分式 x 值为 0 的 x 值是( ) x?5

A.0

B.5

3. 下列判断错.误.的是( )

A.当 x ? 2 时,分式 x ?1 有意义

3

3x ? 2

B.当 a ? b 时,分式 ab 有意义 a2 ? b2

C.当 x ? ? 1 时,分式 2x ?1 值为 0

2

4x

C.4 个 C.-5

D.5 个
D. x ≠-5

D.当 x ? y 时,分式 x2 ? y2 有意义 y?x

4. x 为任何实数时,下列分式中一定有意义的是( )

A. x2 ?1 x

B. x ?1 x2 ?1

C. x ?1 x ?1

D. x ?1 x2 ?1

5.如果把分式 x ? 2 y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍,那么分式的值( ) x? y

A.扩大 10 倍

B.缩小 10 倍

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C.是原来的 2 3
6.下列各式中,正确的是( )
A. a ? m ? a b?m b

D.不变
B. a ? b ? 0 a?b

C. ab ?1 ? b ?1 ac ?1 c ?1

D.

x? x2 ?

y y2

?

1 x?

y

二.填空题
7.当 x =______时,分式 2x 无意义. 3x ? 6
8.若分式 ?6 的值为正数,则 x 满足______. 7?x

9.(1) x ?1 ? 1? x x?2 ( )

(2) (

3x

)

?

5 xy 2 3x2 y

.

10.(1)

x

1 ?

y

?

( x2

?

) y2

(2)

1? x y?2

?

( 4?

) y2

?

11.分式 1 与 x 的最简公分母是_________. 4a2b2 6ab3c

12. 化简分式:(1) x ? y ? _____;(2) x2 ? 9 ? _____.

( y ? x)3

9 ? 6x ? x2

三.解答题
13.当 x 为何值时,下列分式有意义?

(1) x ?1 ;(2) x ?10 ;(3) x ?1 ;(4) x2 ?1 .

x?2

4x ?1

x2 ?1

?x2 ?1

14.已知分式 y ? a , 当 y =-3 时无意义,当 y =2 时分式的值为 0, y?b

求当 y =-7 时分式的值.
15.不改变分式的值,使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数.

(1)

? x2

x2 ?y

(2) b ?a2 ? a

(3) 1? x ? x2 1? x2 ? x

(4)

?

3m ? m2 1? m2

【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B;

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【解析】 1 , 3 , 2x2 ? 5 是分式. x x ? 4 2x

2. 【答案】A;

【解析】 x ? 0且x ? 5 ? 0 .
3. 【答案】B;

【解析】

a

?

?b



ab a2 ? b2

有意义.

4. 【答案】D;

【解析】无论 x 为何值, x2 ?1都大于零.
5. 【答案】D;

【解析】 10x ? 20 y ? 10(x ? 2 y) ? x ? 2 y . 10x ?10 y 10(x ? y) x ? y

6. 【答案】D; 【解析】利用分式的基本性质来判断.

二.填空题 7. 【答案】2;
【解析】由题意, 3x ? 6 ? 0, x ? 2 .
8. 【答案】 x ? 7 ; 【解析】由题意 7 ? x ? 0,∴x ? 7 .

9. 【答案】(1) 2 ? x ;(2) 5 y ;

10.【答案】(1) x ? y ;(2) xy ? 2x ? y ? 2 ;

【解析】

1? x y?2

?

(x

?1)(2 ? 4 ? y2

y)

?

xy

? 2x 4?

?y y2

?

2

.

11.【答案】12a2b3c ;

【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.

12.【答案】(1) ?

?x

1
? y?2

;(2)

x x

?3 ?3

.

【解析】 x2 ? 9 9 ? 6x ? x2

?

? x ? 3?? x ? 3? ? x ? 3?2

?

x?3. x?3

三.解答题 13.【解析】
解:(1)由分母 x ? 2 ? 0,得 x ? 2 .∴ 当 x ? 2 时,原分式有意义.

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(2)由分母 4x ?1 ? 0 ,得 x ? ? 1 .∴ 当 x ? ? 1 时,原分式有意义.

4

4

(3)∵ 不论 x 取什么实数,都有 x2 ?1 ? 0 .∴ x 取一切实数,原分式都有意义.

(4)∵ x2 ? 0 ,∴ x2 ?1 ? 1,∴ ?(x2 ?1) ? ?1即 ?x2 ?1 ? ?1

∴ x 取一切实数,分式 x2 ?1 都有意义. ?x2 ?1

14.【解析】
解:由题意: ?3? b ? 0 ,解得 b ? 3 2 ? a ? 0 ,解得 a ? 2 2?3

所以分式为 y ? 2 ,当 y =-7 时, y ? 2 ? ?7 ? 2 ? ?9 ? 9 .

y?3

y ? 3 ?7 ? 3 ?4 4

15.【解析】

解:(1)

? x2

x2 ?y

x2 ? ? x2?y



(2)

b ?a2 ?

a

?

?

b a2 ?

a



(3) 1? 1?

x ? x2 x2 ? x

?

?x2 ?x2

? x ?1 ? ? x ?1

x2 x2

? ?

x x

? ?

1 1

;(4)

?

3m ? m2 1?m2

?

?

m2 ? 3m m2 ?1

.

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5.1 认识分式
分式的概念和性质知识讲解(提高)
【学*目标】 1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2.掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质将分式恒等变形,进而进行条件计算. 【要点梳理】 要点一、分式的概念
一般地,如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A 叫做分式.其中 A B
叫做分子,B 叫做分母. 要点诠释:(1)分式的形式和分数类似,但它们是有区别的.分数是整式,不是分式, 分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母;分数的分子、分 母中都不含字母. (2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数,所以 分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. (3)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π 表示圆周率,是一个
常数,不是字母,如 a 是整式而不能当作分式. ?
(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式
不能先化简,如 x2 y 是分式,与 xy 有区别, xy 是整式,即只看形式, x
不能看化简的结果. 要点二、分式有意义,无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件:分母不等于零. 2.分式无意义的条件:分母等于零. 3.分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(1)分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义,就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零. (2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式
中分母的值不等于零. (3)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变,这个性质叫做
分式的基本性质,用式子表示是: A ? A? M ,A ? A ? M (其中 M 是不等于零的整式). B B?M B B?M
要点诠释:(1)基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着 的条件,一般在解题过程中不另强调;M≠0 是在解题过程中另外附加
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的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调 M≠0 这个前提条件. (2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式

中字母的取值范围有可能发生变化.例如:

,在变形后,

字母 x 的取值范围变大了.

要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变

其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.

要点诠释:根据分式的基本性质有 ?b ? b , ?b ? b .根据有理数除法的符号法则有 ?a a a ?a

?b ? b ? ? b .分式 a 与 ? a 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着

a ?a a

bb

重要的作用.

要点五、分式的约分,最简分式

与分数的约分类似,利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因式,不改变分式的

值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1 除外),

那么这个分式叫做最简分式.

要点诠释:(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分

母再没有公因式.

(2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式

是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积;当分式

的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子

与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似,利用分式的基本性质,使分式的分子和分母同乘适当的整式,不改

变分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释:(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高

次幂的积作为公分母.

(2)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相

同字母的最高次幂的乘积;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解

因式,然后再找最简公分母.

(3)约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则

是针对多个分式而言.

【典型例题】

类型一、分式的概念

1、指出下列各式中的整式与分式:1 x


x

1 ?

y

,a

? 2

b

,x ?

,3 x2 ?1

,?

2 3

,?3 ?

2y2



x2 , y2 . x4
【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

有字母则不是分式. 【答案与解析】

解:整式有: a ? b , x , ? 2 , ?3 ? 2 y2 , y2 ;

2? 3

4

分式有: 1 , 1 , 3 , x2 . x x ? y x2 ?1 x
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母.此题判断容易出错的地方有两处: 一个是把 π 也看作字母来判断,没有弄清 π 是一个常数;另一个就是将分式化简成整式后
再判断,如 x 和 x2 ,前一个是整式,后一个是分式,它们表示的意义和取值范围是不相同 x
的. 类型二、分式有意义,分式值为 0

2、 当 x 取什么数时,下列分式有意义?当 x 取什么数时,下列分式的值为零?

(1) x ;(2) x ? 5 ;(3) 2x ?10 .

x2 ?1

x2

x?5

【答案与解析】

解:(1)当 x2 ?1 ? 0 ,即 x2 ? ?1时,分式有意义.

∵ x2 为非负数,不可能等于-1, ∴ 对于任意实数 x ,分式都有意义; 当 x ? 0 时,分式的值为零.
(2)当 x2 ? 0 即 x ? 0 时,分式有意义;



? ? ?

x x

? ?

0, 5?

0,



x

?

5

时,分式的值为零

(3)当 x ? 5 ? 0 ,即 x ? 5 时,分式有意义;

?x ? 5 ? 0, ①



? ?2x

?10

?

0

时,分式的值为零,


由①得 x ? 5 时,由②得 x ? 5 ,互相矛盾. ∴ 不论 x 取什么值,分式 2x ?10 的值都不等于零.
x?5
【总结升华】分母不为零时,分式有意义;分子的值为零,而分母的值不为零时,分式的值
为零.

举一反三:

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

x ?2

【变式 1】若分式

的值为 0,则 x 的值为___________________.

x2 ? 5x ? 6

【答案】-2;

提示:由题意

?| x

? ?

x2

| ?2 ? 0 ?5x ? 6

?

0



??|
????

x x

| ?2
? 3?

?0
?x?

2

?

?

0

,所以

x

?

?2

.

【变式 2】当 x 取何值时,分式 x ? 2 的值恒为负数? 2x ? 6
【答案】

解:

由题意可知

?x ? 2 ? 0, ??2x ? 6 ? 0,



?x ? 2 ? 0, ??2x ? 6 ? 0.

解不等式组

?x ? 2 ? 0, ??2x ? 6 ? 0,

该不等式组无解.

解不等式组

?x ? 2 ? 0, ??2x ? 6 ? 0.



?3

?

x

?

2



所以当 ?3 ? x ? 2 时,分式 x ? 2 的值恒为负数. 2x ? 6
类型三、分式的基本性质

3、不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.

(1)

; (2)

; (3)

.

【答案与解析】

解:(1)



(2)

??a ?1?

?

??

a ?1



a2 ? 2

a2 ? 2

(3)

.

【总结升华】(1)、根据分式的意义,分数线代表除号,又起括号的作用;(2)、添括号法则: 当括号前添“+”号,括号内各项的符号不变;当括号前添“—”号,括号内各项都变号. 举一反三: 【变式】下列分式变形正确的是( )

A. x ? x2 y y2

B. m ? n ?

(m ? n)2

(m ? n)2 ?

m ? n (m ? n)(m ? n) m2 ? n2

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

C. 1? x ? 1 x2 ? 2x ?1 x ?1

D. b ? ab a a2

【答案】D;

提示:将分式变形时,注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 0 的整式这一

条件.其中 A 项分子、分母乘的不是同一整式,B 项中 m ? n ? 0 这一条件不知是

否成立,故

A、B

两项均是错的.C

项左边可化为: 1? x (1? x)2

?1 1? x

?

1 ,故 x ?1

C

项亦错,只有 D 项的变形是正确的. 类型四、分式的约分、通分

4、约分:(1) a2 ? 2a ?1 ;(2) 2n2 ? m ;

a2 ?1

2mn ? 4n3

通分:(3) 3 与 a ? b ;(4) 1 , 4x , 2 .

2a2b ab2c

x ? 2 x2 ? 4 x ? 2

【答案与解析】

解:(1) a2 ? 2a ?1 ? (a ?1)2 ? a ?1 ; a2 ?1 (a ?1)(a ?1) a ?1

(2) 2n2 ? m 2mn ? 4n3

?

2n2 ? m 2n(m ? 2n2 )

?

?(m ? 2n2 ) 2n(m ? 2n2)

?? 1 2n



(3)最简公分母是 2a2b2c .

3 2a2b

?

3 2a2b

bc bc

?

3bc 2a2b2c



a?b ab2c

?

(a ? b) ab2c

2a 2a

?

2a2 ? 2ab 2a2b2c



(4)最简公分母是 (x ? 2)(x ? 2) ,

1 x?

2

?

x?2 (x ? 2)(x ? 2)

?

x?2 x2 ? 4

, 4x x2 ? 4

?

4x x2 ? 4

,2 x?2

?

2(x ? 2) (x ? 2)(x ?

2)

?

2x ? 4 x2 ? 4



【总结升华】如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子、分母的公因式,也就是分 子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂.通分的关键是确定几个分式的最简公分 母,若分母是多项式,则要因式分解,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况. 类型五、分式条件求值

5、若

x y

?

?2 ,求

x2 x2

? 2xy ? 3y2 ? 6xy ? 7 y2

的值.

【思路点拨】本题可利用分式的基本性质,采用整体代入法,或把分式的分子与分母化成只

含同一字母的因式,使问题得到解决.

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

【答案与解析】

解法一:因为 x ? ?2 ,可知 y ? 0 , y

所以 x2 ? 2xy ? 3y2 ? (x2 ? 2xy ? 3y2 ) x2 ? 6xy ? 7 y2 (x2 ? 6xy ? 7 y2 )

2

1 y2 1 y2

?

? ? ?

x y

? ? ?
2

?

2

?x?

? ?

y

? ?

?6

x ?3 y x ?7 y

?

(?2)2 (?2)2

? ?

2? (?2) 6? (?2)

?3 ?7

?

5 9



解法二:因为 x ? ?2 , y

所以 x ? ?2y ,且 y ? 0 ,

所以 x2 ? 2xy ? 3y2 ? (x ? 3y)(x ? y) ? x ? 3y ? ?2 y ? 3y ? 5 . x2 ? 6xy ? 7 y2 (x ? 7 y)(x ? y) x ? 7 y ?2 y ? 7 y 9
【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想.一般情况下,在条件中含 有不定量时,不需求其具体值,只需将其作为一个“整体”代入进行运算,就可以达到化简 的目的. 举一反三:

【变式】已知

x 3

?

y 4

?

z 6

(xyz

?

0)

,求

xy x2

? ?

yz y2

? ?

zx z2

的值.

【答案】

解: 设 x ? y ? z ? k(k ? 0) ,则 x ? 3k , y ? 4k , z ? 6k . 346

∴ xy ? yz ? zx ? 3k 4k ? 4k 6k ? 6k 3k ? 54k 2 ? 54 .

x2 ? y2 ? z2

(3k)2 ? (4k)2 ? (6k)2

61k 2 61

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

5.1 认识分式【同步巩固练*】

提高部分

一.选择题

1.若分式 a2 ? 9 的值为 0,则 a 的值为(
a2 ? a ?6

A.3

B.-3

) C.±3

D. a ≠-2

2.把分式 2x 中的 x、y 都扩大 m 倍( m ≠0),则分式的值( ) x? y

A.扩大 m 倍

B.缩小 m 倍

C.不变

D.不能确定

3.若分式 5a ? b 有意义,则 a、b 满足的关系是( ) 3a ? 2b

A. 3a ? 2b

B. a ? 1 b 5

C. b ?? ? 2 a 3

D. a ?? ? 2 b 3

4.若分式

1? 2b2

b ?

1

的值是负数,则

b

满足(



A. b <0

B. b ≥1

C. b <1

D. b >1

5.下面四个等式: ① ? x ? y ? ? x ? y ; ② ? x ? y ? ? x ? y ; ③ ? x ? y ? ? x ? y ;

2

2

2

2

2

2

④ ? x ? y ? x ? y ? 其中正确的有( )

2

?2

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

6.化简 a2 ? b2 的正确结果是( ) a2 ? 2ab ? b2

A. a ? b a?b
二.填空题

B. a ? b a?b

C. 1 2ab

D. ?1 2ab

7.使分式 2x 有意义的条件为______. (x ? 3)2

8.分式 2x ? 5 有意义的条件为______. (x ?1)2 ? 2

9.当______时,分式 | x | ?4 的值为零. x?4

10.填空: (1) ? m ? n ? ( ) n ? m ;(2) 2a ?1 ? (

m?n

? m ? n ? 2b

11.填入适当的代数式,使等式成立.

(1) a2

? ab ? 2b2 a2 ?b2

?

(

)

1? ? (2)

a?b

1?

a
b a

?

( ). b?a

b

) 1? 2a ? 2b

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

12. 分式 m2 ? 2m ? 1 约分的结果是______. 1? m2
三.解答题

13.若 x2 ? x 的值为零,求 1 的值.

x2 ? 3x ? 2

(x ?1)2

14.已知 1 ? 1 ? 2 ,求 3x ? 7xy ? 3y 的值.

xy

2x ? 3xy ? 2 y

15.(1)阅读下面解题过程:已知

x x2 ?1

?

2 5

,



x2 x4 ?1

的值.

解:∵

x x2 ?1

?

2 5

,

?

x

?

0?

∴ x

1 ?

1

?

2 5

,即

x

?

1 x

?

5 2

?

x



x

x2 4?

1

?

1

x2

?

1 x2

?

1

? 1 ? 4?

(x ? 1 )2 ? 2 ( 5 )2 ? 2 17

x

2

(2)请借鉴(1)中的方法解答下面的题目:

已知

x2

?

x 3x

?1

?

2,



x4

x2 ? x2

?1

的值.

【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B;
【解析】由题意 a2 ? 9 ? 0 且 a2 ? a ? 6 ? 0 ,解得 a ? ?3.
2. 【答案】C;
【解析】 2mx ? m ? 2x ? 2x . mx ? my m(x ? y) x ? y
3. 【答案】D;
【解析】由题意, 3a ? 2b ? 0 ,所以 a ?? ? 2 b . 3
4. 【答案】D;
【解析】因为 2b2 ?1 ? 0, 所以1? b ? 0, 即 b >1.
5. 【答案】C; 【解析】①④正确.

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

6. 【答案】B;

【解析】

a2

a2 ? b2 ? 2ab ? b2

?

?a ?b??a ?b? ?a ? b?2

?

a?b a?b

.

二.填空题
7. 【答案】 x ? ?3. 8. 【答案】 x 为任意实数;
【解析】 x 为任意实数,分母都大于零. 9. 【答案】 x ? ?4 ;

【解析】

?| x | ??x ?

?4 ? 0 4?0

,所以

x

?

?4

.

10.【答案】(1)-;(2)+;

11.【答案】(1) a ? 2b ;(2) b ? a ;

【解析】 a2

? ab ? 2b2 a2 ?b2

?

?a ? b??a ? 2b? ; 1? ?a ?b??a ?b? 1?

a
b a

?

a?b
b b?a

?

a?b b?a

.

bb

12.【答案】 1? m ; 1? m

【解析】

m2 ? 2m 1? m2

?1

?

?m ?1?2 ?1? m??1?

m?

?

1? 1?

m m

.

三.解答题 13.【解析】

解:由已知得:

?? x 2

? ??

x

2

? ?

x?0 3x ? 2

?

0

,即

?x(x ?1) ? 0 ??(x ?1)(x ? 2)

?

0





?x ??x

? 0 或x ?1 ? 0 ?1 ? 0且x ? 2 ?

0





?x ? 0或x ? ?1, ??x ? ?1且x ? ?2,

∴ x ?0,



x

?

0

代入得:

(

x

1 ?1)2

?

1 (0 ?1)2

?

1 (0 ?1)2

?1.

14.【解析】

解:方法一:∵ 1 ? 1 ? y ? x ? 2 , x y xy

等式两边同乘以 xy ,得 2xy ? y ? x .

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北师大版八年级数学下册第五章第一节《认识分式》同步练*试题(含答案,讲解)

∴ x ? y ? ?2xy .

∴ 3x ? 7xy ? 3y ? 3(x ? y) ? 7xy ? ?3 ? 2xy ? 7xy ? xy ? ? 1 . 2x ? 3xy ? 2 y 2(x ? y) ? 3xy ?2? 2xy ? 3xy ?7xy 7

方法二:∵ 1 ? 1 ? 2 , xy



3x ? 7xy ? 3y

?

3 y

?7? 3 x

?

?3

? ? ?

1 x

?

1 y

? ? ?

?

7

?

?3? 2 ? 7

??1



2x ? 3xy ? 2 y

2 ?3? 2 yx

?2

? ? ?

1 x

?

1 y

? ? ?

?

3

?2? 2 ? 3

7

15.【解析】

解:∵

x2

?

x 3x

?1

?

2,

?

x

?

0?



x

?

1 1

?

3

?

2

,∴

x

?

1 x

?

7 2

x



x4

x2 ? x2

?1

?

x2

1

?

1 x2

?1

?

? ??

x

?

1

1

2
?

x ??

?1

?

? ??

7 2

1
2
? ??

?1

?

4 45

.

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